Matematica e realtà


Parte prima fonteOk, non dico più niente su questo argomento. Mi sembra sufficientemente oscuro.


A volte si sente diremountains che la matematica non serve a niente, ed è solo un mezzo per torturare i poveri studenti di ogni ordine e grado. D’altra parte c’è una lunga tradizione, che possiamo far risalire a Pitagora, che ritiene che il numero e il ragionamento matematico siano le sole vie maestre per una vera conoscenza della realtà, qualsiasi cosa si intenda con questa parola. Di questo filone di pensiero, uno dei massimi rappresentanti è il nostro Galileo, che formula in modo suggestivo la sua opinione sulla capacità esplicativa e conoscitiva della Matematica: “La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.” [Galileo Galilei, Il Saggiatore, 1623]

Da allora, grazie al contributo di una
molti straordinari scienziati, Galileo stesso, ma ancheNewton, Maxwell, Einstein, von Neumann e tanti altri, si è assistito ad una progressiva e spesso sorprendente verifica di questa idea, con una sempre maggiore matematizzazione della scienza, a cominciare dalla fisica, dalla chimica e dalla astronomia, e un numero incredibile di successi nel mondo “reale”, dall’informatica, alla fluidodinamica computazionale, al trattamento delle immagini, alla medicina.
In effetti il successo della matematica in molte branche della scienza era ed è cosi totale da spingere il fisico Premio Nobel Eugene Wigner a scrivere nel 1960 un saggio sulla
“Irragionevole efficacia della Matematica”. Wigner parte dalla constatazione che spesso molti fisici si imbattono in concetti matematici che descrivono perfettamente il fenomeno che stanno studiando, solo per poi accorgersi che qualche matematico aveva sviluppato lo stesso concetto independentemente. La cosa più sorprendente è che, una volta elaborato un modello matematico a partire da un insieme a volte anche piccolo di esperimenti, spesso questo modello permette predizioni molto accurate anche in ambiti molto lontani da quelli inizialmente considerati, come capita per esempio all’interno della gravitazione newtoniana o più recentemente in meccanica quantistica. Wigner non offre una spiegazione per questa efficacia della matematica nel descrivere la realtà. Per lui “il miracolo dell’appropriatezza del linguaggio matematico per la formulazione delle leggi della fisica è un dono meraviglioso che non capiamo e nemmeno meritiamo”.
Nel mezzo secolo che ci separa da questo articolo, molti scienziati e filosofi hanno cercato di districare la matassa del rapporto tra la matematica e la realtà, senza però arrivare ad un punto di vista codiviso. Ovviamente, non è nemmeno pensabile illustrare le maggiori posizioni espressenel breve spazio di questo blog, stiamo solo aprendo un piccolo spiraglio su di una questione vastissima, però da matematico applicato, non posso evitare di pensarci, specialmente quando considero modelli matematici in ambiti, come la biologia, dove la tradizione quantitativa è meno consolidata.

Per prima cosa dobbiamo però metterci d’accordo su cosa sia in effetti questa matematica. Il XX secolo ha visto un ampio dibattito su questo punto, con diverse scuole a contendersi una definizione definitiva di questa disciplina. Per esempio, la Treccani propende per una “Scienza assiomatico-deduttiva che studia elementi teorici (m. pura) e utilità applicative (m. applicata) di enti numerici, simbolici e geometrici (o più generalmente topologici)”e non è che questo ci porti molto avanti nella discussione. Ma non è preoccupante, la maggior parte dei matematici professionisti non sa bene cosa sia “veramente” la matematica, e anzi, nemmeno si pone il problema, ma di solito vivacchia con una posizione “platonista”, che dovremmo chiamare piuttosto di “realismo matematico” : ci sono degli oggetti matematici, che si distinguono chiaramente dagli altri, che hanno un’esistenza independente dalle menti umane e vivono nel mondo delle idee, e la matematica è l’attività che consiste nello studiare questi oggetti e metterli in relazione tra loro. Questo spiegherebbe tra l’altro la loro verità universale. Quando affrontate un problema di matematica anche semplice, sapete che non potete barare, nel senso che, qualsiasi sia la risposta, questa esiste indipendentemente da voi. Secondo questo punto di vista, condiviso da personaggi come Paul Erdős and Kurt Gödel la matematica non si “inventa”, ma si “scopre”. Per esempio, una volta definiti i numeri (reali), non dipende da voi il fatto che dati due numeri ab, si abbia sempre che 2ab è minore o uguale a2+ b2 (se non siete matematici, perdete almeno 5 minuti del vostro tempo a provare a dimostrarlo…). Questa teoria è molto suggestiva sul piano psicologico soggettivo (vi assicuro che quasi tutti i matematici, almeno inconsciamente, la pensano così (*)), ma ovviamente si scontra con il solito problema del platonismo, ossia la mancanza di una spiegazione chiara del rapporto tra le idee e il mondo “reale”. In un certo senso, se partissimo da questa idea di matematica, diventerebbe praticamente impossibile capire perché “funziona” nel descrivere la realtà, e ci sembrerebbe solo una pazzesca coincidenza. (1-continua…)

di Roberto Natalini

(*) L’immagine più gettonata è quella della montagna. I teoremi sono come vette da conquistare, che possono più o meno vedersi dal basso, e la ricerca consiste nel trovare un cammino per raggiungerle. In certi momenti aggiungerei che questi cammini li dobbiamo trovare essendo per giunta bendati.
23 gennaio 2011
parte seconda fonte
nuvola“Noi crediamo nella realtà della matematica, ma certamente quando I filosofi ci attaccano con I loro paradossi, corriamo a nasconderci dietro al formalismo e diciamo ‘La matematica è solo una combinazione di simboli senza senso’, e tiriamo fuori i Capitoli 1 e 2 della teoria degli insieme. Poi, quando ci lasciano in pace, torniamo alla nostra matematica e la facciamo come l’abbiamo sempre fatta, con il sentimento che ogni matematico ha di stare lavorando su qualche cosa di reale. Questa sensazione è probabilmente un’illusione, ma è molto utile.” Jean Dieudonné

In un post precedente (essendo questa una seconda parte, un minimo di convenzione matematica fa pensare che ce ne sia una prima, come infatti è, e la trovate qui. Non è indispensabile leggerla, ma forse utile…), ci siamo posti il problema del perché la matematica funzioni, ossia per quale motivo, facendo qualche osservazione e parecchi calcoli più o meno avanzati, siamo capaci di mandare un satellite in orbita intorno a Saturno, o di vedere, grazie ad un complicato procedimento che decodifica le onde acustiche, un quasi-bambino succhiarsi il pollice nella pancia della sua mamma. Ma anche, ed è il problema che sembra più profondo, ci siamo chiesti il perché strutture matematiche nate in certi contesti abbiano poi trovato applicazione in situazioni totalmente imprevedibili, come la teoria dei gruppi nella fisica delle particelle o la teoria dei grafi in informatica. Il problema, ci siamo detti, è per prima cosa nel definire che cosa sia veramente la matematica. Il punto di vista soggettivo di molti matematici professionisti, che abbiamo chiamato platonista (o realismo matematico, come inteso nella citazione in epigrafe), è che ci siano veramente gli oggetti matematici, in un fuori imprecisato, nel fantastico mondo della matematica o nel “Libro” del Supremo Fascista (sic!) evocato da Erdős, e che il nostro lavoro consista nello scoprirli e capire come sono collegati. Quello che lascia veramente perplessi è che, se accettassimo questo punto di vista, allora anche degli oggetti estremamente elaborati, come gli spazi infinito-dimensionali di Hilbert, o gli infiniti cantoriani, o la bottiglia di Klein, esisterebbero da sempre (e nessuno per millenni se ne sarebbe mai accorto). I concetti di derivata e di integrale sarebbero già stati lì anche quando, come nei primi 150 anni dopo l’inizio del loro uso, la loro definizione era palesemente non giustificata a livello rigoroso. Un po’ come dire che la “Pietà” era già nel blocco di marmo e Michelangelo si sia limitato a “trovarla” all’interno della pietra. Inoltre, e questo ci interessa qui, il punto di vista platonista non spiegherebbe l’applicabilità della matematica, perché resterebbe sempre da spiegare il collegamente tra due mondi che in principio non possono essere collegati. Insomma, nella migliore delle ipotesi (ma ci sono in ogni modo innumerevoli problemi filosofici di cui proprio non parliamo) vi sarebbe solo un raddoppiamento del problema.
In opposizione al platonismo matematico, vi sono stati storicamente due punti di vista radicalmente opposti: il formalismo e l’intuizionismo (sto grandemente semplificando, in realtà è chiaro che ci sono un sacco di posizioni diverse, ma anche tanti buoni libri dove trovare maggiori dettagli, per esempio cercate quelli di Morris Kline), e qui parleremo solo del primo. Il formalismo nasce nella scuola tedesca intorno a David Hilbert a partire dagli inizi del ‘900. L’idea di base di questa corrente di pensiero è che la matematica non sia niente altro che un insieme di regole di manipolazione formale di alcuni simboli privi di significato intrinseco, simile per molti versi al gioco degli scacchi: “La matematica è un gioco senza significato”. Un gioco che solo in seguito viene adattato abbastanza arbitrariamente alle situazioni reali. Anche scegliendo questo punto di vista, rimarrebbe abbastanza misterioso il perché l’universo debba adattarsi ai nostri giochi formali, e infatti questa non era una delle preoccupazioni dei formalisti. Il motivo vero di questo punto di vista era il tentativo di Hilbert di rifondare la matematica su basi autonome, scollegate appunto dall’intuizione fisica o percettiva, per evitare i vari paradossi che sembrava spuntassero come funghi. Per la cronaca, questo programma si sarebbe scontrato con le difficoltà poste dalteorema di Gödel all’inizio degli anni ’30 (ok, stiamo allontanandoci dal seminato…). In ogni modo, anche visto soltanto dal punto di vista pratico, della matematica che si pratica tutti i giorni (sic!), è difficile ridurre tutta la matematica alla derivazione logica di teoremi a partire da un insieme di assiomi e regole di calcolo. Storicamente le cose sono sempre andate diversamente: prima si sono capiti dei concetti e introdotti nuovi strumenti, e solo dopo si è cercato di organizzarli in un sistema assiomatico. Gli oggetti matematici sono sempre nati con un significato, a volte anche molto concreto e legato alle attività umane, e sono, come diceEnrico Giustil’oggettualizzazione di procedure umane. Voglio misurare una distanza, dopo un po’ trovo il teorema di Pitagora, voglio recintare una regione circolare di cui conosco il raggio, scopro un rapporto costante. E poi, come si svolgerebbero esattamente queste derivazioni, altrimenti dette “dimostrazioni”, che starebbero lì a concatenare gli assiomi alle loro conseguenze ultime? Per i formalisti, una dimostrazione è una trasformazione di espressioni simboliche fatta utilizzando la logica. Una successione di passi connessi strettamente l’uno all’altro e possibilmente analizzabile in modo automatico. Ora, anche ignorando totalmente la teoria della computabilità di Turing, nella pratica matematica, e anche nell’insegnamento, raramente(=mai) questa definizione di dimostrazione viene adottata. Per quel che mi riguarda, dimostro un teorema quando riesco a produrre sufficienti argomenti per convincere un collega qualificato, con una preparazione matematica simile alla mia, ma con poco o nessun interesse a priori per i miei risultati, della validità dei miei ragionamenti. Da questo si capisce che questo criterio non è assoluto ed è destinato a mutare nel tempo. Cauchy credeva di aver dimostrato che il limite di una successione di funzioni continue è una funzione continua (e oggi sappiamo che non è vero, a meno che non si supponga la convergenza uniforme, come dimostrato da Weierstrass venti anni dopo Cauchy). Ovviamente non sto sostenendo che la matematica sia arbitraria, al contrario, è una delle poche attività umane in cui si arrivi a concludere qualche cosa, ma che le nozioni di evidenza, di dimostrazione, di rigore siano in realtà molto legate all’ambiente storico e culturale, e siano in definitiva delle idee molto “umane”. Persino l’idea di contare, che da sempre è considerata universale, e si pensa sia condivisa anche dalle meduse globulari di Betelgeuse o dalle pseudo-sfere gassose di Fomalhaut, forse non è poi così scontata. Due nuvole che si incontrano formano una nuvola più grande: non sempre 1+1=2 (specie se sei una pseudo-sfera gassosa di Fomalhaut). (2-continua).
di Roberto Natalini
7 febbraio 2011
parte terza fonte
genealogyLa matematica è una forma di vita” (Reuben Hersh, Che cos’è veramente la matematica?)
La matematica è lo studio di analogie tra analogie” (Gian Carlo Rota, Pensieri indiscreti)

Dopo aver tanto parlato della matematica e del suo rapporto con la realtà, comincerei la terza parte (le prime due le trovate qui: primaseconda) di questo ragionamento su matematica e realtà con un capovolgimento di punto di vista. Vorrei parlare infatti della “realtà della matematica”, di come si possa imparare ad essere un matematico e come si viva in concreto questa esperienza.

Intanto direi che la matematica non si impara sui libri. Anche sui libri, ma la matematica profonda, quella istintiva, si impara guardando gli altri fare matematica, i nostri maestri, i colleghi, persino i propri studenti. Ricordo di aver passato parecchi giorni a cercare di capire da un libro il concetto di operatore pseudodifferenziale. Non che non ne capissi la definizione, le loro proprietà, anche alcune sottigliezze analitiche che li caratterizzavano. Questo, con lo studio, lo vedevo, ma non “Capivo”, non capivo da dove venissero e soprattutto dove andassero questi operatori. Un po’ perché i libri di matematica spesso si scrivono in pratica al contrario: si parte dalla fine, le definizioni, e si arriva all’inizio, il problema che ci siamo posti, noi o qualcun altro, e che ci ha portati a sviluppare quella determinata teoria. Andai da Bernard, il mio direttore di tesi, e gli chiesi di spiegarmi meglio di che si trattava, e lui, sulla lavagna, in una decina di minuti, mi fece capire quasi tutto quello che ancora adesso mi ricordo di questo argomento. Tutti i matematici provano questa sensazione, e per questo è importante avere bravi insegnanti, che siano anche persone qualificate, con una visione complessiva della ricerca del loro tempo. Si può essere scrittori autodidatti, ma, come per i musicisti, è molto più difficile esserlo per i matematici (tranne il caso di Srinivasa Ramanujan, che fornisce uno dei pochi veri controesempi). Proprio perché questa trasmissione orale della matematica, quasi un passare segreti di bottega da un artigiano all’altro, è così importante, esiste l’albero genealogico di tutti (o quasi) i matematici del mondo, che potete trovare nel sito The Mathematics GenealogyProject (mettete un nome di un matematico che conoscete e divertitivi a salire o scendere nel tempo, si rimonta fino al medioevo dove i maestri di matematica erano filosofi e uomini di chiesa). Qui si vede come molti dei matematici contemporanei discendano dai due grandi tronconi della matematica (Eulero e Gauss) e come per molti di noi esista una sequenza ininterrotta che ci riporta a Leibniz , che fu tra coloro che introdusse il calcolo differenziale e integrale. Sotto la guida dei maestri, e non con la logica a tavolino, ma in un processo di assimilazione più interiorizzata, i concetti di limite, di equazione, di funzione  olomorfa, sono arrivati fino a noi. E così si impara tutta la matematica. Si impara a dare un nome a degli oggetti che nel tempo si sono rivelati utili per fare certe cose. Uno potrebbe stupirsi che gli operatori iperbolici siano esattamente quelli per cui il problema di Cauchy è ben posto, se non sapesse che sono stati definiti proprio a partire da quella proprietà. Alcuni concetti sono durati nel tempo, altri come gli infinitesimi, vanno e vengono. Altri, come la nozione di olomorfia nei quaternioni, evolvono nel tempo. Insomma, forse alcuni sono più dotati di altri, è normale, ma matematici si diventa, e si diventa imparando da un maestro, e imparando in primo luogo il linguaggio. E si riconosce una direzione promettente da una che non porta a nulla. Si vede se un certo argomento ha una buona probabilità di essere giusto o meno, anche prima di leggere il dettaglio. E la matematica costituisce una sorta di comunità con le proprie regole e la propria valutazione delle cose. Una comunità che ha un linguaggio e tante sottocomunità (logica, algebra, geometria, analisi…) ognuna con il suo sottolinguaggio specialistico.
Questo processo ricorda un po’ quello dell’apprendimento delle lingue e la cosa non è del tutto casuale. La matematica è in buona parte assimilabile ad un linguaggio nel suo essere un fatto sociale. Una pratica condivisa tra le persone, che muta nel tempo, a seconda dei bisogni, o delle mode, o degli eventuali successi o insuccessi. E questa parte, che chiamerei “storica”, della matematica, è per molti versi inscindibile da quella che sembra essere più “permanente”. Oggi il concetto di derivata o anche solo di funzione, ci sembrano assolutamente “necessari”, e non solo per le nostre necessità applicative, ma anche come base per il nostro ragionare matematico. Eppure fino a 400 anni fa non esistevano e forse un giorno saranno sostituiti da altri concetti. Insomma, molte di queste idee nascono per rispondere a problemi che ci poniamo in una certa epoca e a cui proviamo a rispondere con la nostra immaginazione. Sono un uomo di Neanderthal e voglio sapere quanti lupi ci sono in una grotta, che all’inizio è vuota. Ne vedo entrare e uscire un bel po’, e per tenere il conto mi aiuto con le dita, con dei segnetti per terra, con dei bastoncini. Ecco, qui nasce un modello matematico, una rappresentazione semplificata del mondo, che mi permette di mantenere in modo affidabile la mia contabilità, senza dover entrare nella grotta e contare i lupi. Gli uomini che non erano capaci di simili astrazioni si  estinti, e noi, gli uomini matematici, siamo sopravvissuti. Ed è proprio in questa forma che ci possiamo riavvicinare ad una comprensione, forse informale, senza troppe finezze metafisiche, del rapporto tra la matematica e la realtà.
Perché, e qui convergiamo verso l’inizio del nostro lungo discorso, cosa facciamo per applicare la matematica alla realtà, nella pratica? Di solito si osserva il fenomeno che ci interessa e si cerca di immaginare come si possa produrre. Prendo una goccia di inchiostro, la metto in un bicchiere d’acqua, e la vedo allargarsi formando fiugure casuali. Prendo una sbarra di ferro e la scaldo ad una estremità, e mi accorgo che, abbastanza rapidamente anche l’altra diventa calda (attenzione bambini: non fatelo senza la sorveglianza di un adulto). Mi posso immaginare in entrambi le situazioni che alcune particelle “diverse” dalle altre, si muovano in un mezzo omogeneo seguendo dei moti causali. Spingendo la mia immaginazione molto oltre posso scrivere delle equazioni per queste particelle, magari immaginando che formino una specie di sostanza continua (e derivabile!) all’interno del mezzo in questione. Così nascono almeno le leggi di diffusione conosciute come leggi di Fick e di Fourier. Però è chiaro che stiamo costruendo solo una “caricatura” della realtà e se per esempio fossi interessato alle singole traiettorie di queste “particelle”, dovrei adottare una descrizione completamente diversa. Come dice von Neumann “per modello si intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati. La giustificazione di un costrutto matematico del genere è soltanto e precisamente che ci si aspetta che funzioni — cioè che descriva correttamente i fenomeni di un’area ragionevolmente ampia. Inoltre, esso deve soddisfare certi criteri estetici — cioè rispetto alla quantità di informazioni che fornisce, deve essere piuttosto semplice”. Questi modelli non sono e non possono essere l’universo. Sono però delle “analogie” estremamente efficaci, che ci permettono di cercare di prevedere cosa succederà in certe situazioni complesse. Se l’analogia sarà veramente appropriata, potrò addirittura scoprire proprietà fisiche che non conoscevo prima. Per esempio, nell’800 Maxwell capì che la luce era un fenomeno elettromagnetico grazie alle equazioni matematiche che aveva dedotto dalle conoscenze sperimentali. E i modelli, anche se sono solo delle approssimazioni, si sono mostrati estremamente efficaci. La matematica che li ha generati e che essi stessi hanno prodotto, è la nostra matematica. Uno può studiarla per pura curiosità, occupandosi così di quelle “analogie di analogie” evocate da Gian Carlo Rota, o può usarla per risolvere nuovi e vecchi problemi. E vista sotto questa luce, la questione dell’efficacia della matematica non è più misteriosa per esempio dell’efficacia del linguaggio stesso. Se io scrivo “Adesso guardati la punta dei piedi”, tu lettore sei portato a farlo, e anche se non lo farai (lo hai fatto?) avrai pensato alla punta dei tuoi piedi. Insomma, con una semplice sequenza di lettere (che sono impulsi elettrici che diventano pixel, che diventano segnali nervosi nel tuo cervello), sono riuscito a modificare un tuo assetto mentale. Perché il linguaggio è nato proprio per fare questo, e siamo stati allenati ad associare la parola piede (scritta, parlata, elettronizzata) all’immagine mentale del piede e alla nostra esperienza di esso. Così, se io mi immagino che questo gas che ci circonda, l’aria, sia fatto di sferette che rimbalzano tra di loro, e ne deduco delle equazioni appropriate, non è così strano che poi possa usare queste equazioni per simulare il volo di un aeroplano, e che questo funzioni.
Certo il mistero, del linguaggio, e del funzionamento del nostro cervello, resta e non è certo diminuito da questi ragionamenti. Ma forse questo punto di vista ci potrebbe servire ad insegnare meglio la matematica, cercando di far capire che nasce nella realtà e solo in un secondo momento diventa così astratta, proprio per diventare ancora più efficace. Ma questo è un altro discorso…
di Roberto Natalini
N.B.: Grazie a Peppe Liberti del blog Rangle per aver lanciato l’iniziativa del Carnevale della Matematica di questo mese da cui prendono origine queste riflessioni.
13 febbraio 2011

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